خدمات ساختمانی و تأسیساتی مهدکودکها

انرژی ذخیره شده در توزیع یک میدان الکتریکی

معادلهٔ انرژی پتانسیل الکتریکی در یک توزیع بار پیوسته در حالتی که میدان الکتریکی داریم نیز قابل استفاده است.
قانون گوس برای میدان الکتریکی در حالت دیفرانسیلی به شکل زیر بیان می‌شود:

    ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}} {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}

که

    E   {\displaystyle \mathbf {E} \ } {\displaystyle \mathbf {E} \ }، بردار میدان الکتریکی.
    ρ   {\displaystyle \rho \ } {\displaystyle \rho \ } چگالی بار کل، شامل دوقطبیهای مقید[۱] در ساختار ماده.

درنتیجه خواهیم داشت:

    U = 1 2 ∫ all space ρ ( r ) Φ ( r ) d 3 r {\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)d^{3}r} {\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)d^{3}r}
    = 1 2 ∫ all space ϵ 0 ( ∇ ⋅ E ) Φ ( r ) d 3 r {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\epsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi (r)d^{3}r} {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\epsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi (r)d^{3}r}

از صورت برداری اتحاد دیورژانس که به شکل زیر است استفاده می‌کنیم:

    ∇ ⋅ ( A → B ) = ( ∇ ⋅ A → ) B + A → ⋅ ( ∇ B ) ⇒ ( ∇ ⋅ A → ) B = ∇ ⋅ ( A → B ) − A → ⋅ ( ∇ B ) {\displaystyle \nabla \cdot ({\vec {A}}{B})=(\nabla \cdot {\vec {A}}){B}+{\vec {A}}\cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot {\vec {A}}){B}=\nabla \cdot ({\vec {A}}{B})-{\vec {A}}\cdot (\nabla {B})} {\displaystyle \nabla \cdot ({\vec {A}}{B})=(\nabla \cdot {\vec {A}}){B}+{\vec {A}}\cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot {\vec {A}}){B}=\nabla \cdot ({\vec {A}}{B})-{\vec {A}}\cdot (\nabla {B})}

پس داریم:

    U = ϵ 0 2 ∫ all space ∇ ⋅ ( E Φ ) d 3 r − ϵ 0 2 ∫ all space ( ∇ Φ ) ⋅ E d 3 r {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )d^{3}r-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} d^{3}r} {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )d^{3}r-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} d^{3}r}

با استفاده از قضیهٔ دیورژانس و این فرض که در بینهایت Φ ( ∞ ) = 0 {\displaystyle \Phi (\infty )=0} {\displaystyle \Phi (\infty )=0} است:

    U = ϵ 0 2 ∫ Φ E ⋅ d A − ϵ 0 2 ∫ all space ( − E ) ⋅ E d 3 r {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int \Phi \mathbf {E} \cdot dA-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} d^{3}r} {\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int \Phi \mathbf {E} \cdot dA-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} d^{3}r}

    = ∫ all space 1 2 ϵ 0 | E | 2 d 3 r . {\displaystyle =\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}d^{3}r.} {\displaystyle =\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}d^{3}r.}

درنتیجه، چگالی انرژی یا انرژی در واحد حجم میدان الکتریکی برابر است با:

    u e = 1 2 ϵ 0 | E | 2 . {\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.} {\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}

انرژی در عناصر الکترونیکی

برخی عناصر دز محیط می توانند صورتی از انرژی را به صورتی دیگر تبدیل کنند. مثلاً یک مقاومت الکتریکی، انرژی الکتریکی را به گرمایی تبدیل می‌کند و یک خازن آن را در یک میدان الکتریکی ذخیره می‌کند.
کل انرژی پتانسیل ذخیره شده در یک خازن از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

    U E = 1 2 C V 2 {\displaystyle U_{\textrm {E}}={\frac {1}{2}}CV^{2}} {\displaystyle U_{\textrm {E}}={\frac {1}{2}}CV^{2}}

در رابطهٔ بالا C {\displaystyle C} C ظرفیت خازن و V {\displaystyle V} V پتانسیل الکتریکی کل می‌باشد.
یادداشت

    Polarization density

منابع

    «Electric potential energy» ‎(انگلیسی)‎. ویکی‌پدیای انگلیسی. بازبینی‌شده در ۱۶ مارس ۲۰۱۱.

    Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (1997). "Electric Potential". Fundamentals of Physics (5th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-10559-7


منابع: ویکی پدیا و talagostar . com